Formuła rozkładu geometrycznego (spis treści)

  • Formuła
  • Przykłady
  • Kalkulator

Co to jest formuła rozkładu geometrycznego?

W statystyce i teorii prawdopodobieństwa mówi się, że zmienna losowa ma rozkład geometryczny tylko wtedy, gdy jej funkcję gęstości prawdopodobieństwa można wyrazić jako funkcję prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób. W rzeczywistości rozkład geometryczny pomaga w określeniu prawdopodobieństwa pierwszego wystąpienia sukcesu po określonej liczbie prób, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo sukcesu. Jeśli prawdopodobieństwo sukcesu wynosi „p”, to wzór na prawdopodobieństwo pierwszego wystąpienia sukcesu po próbach „k” można uzyskać, mnożąc prawdopodobieństwo sukcesu do jednego minus prawdopodobieństwo sukcesu, które jest podniesione do potęgi pewnej liczby próby minus jeden. Matematycznie funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest reprezentowana jako:

P(X=k) = p * (1 – p) (k – 1)

Gdzie,

  • p = prawdopodobieństwo sukcesu
  • k = próba, przy której następuje pierwszy sukces

Przykłady formuły rozkładu geometrycznego (z szablonem Excel)

Weźmy przykład, aby lepiej zrozumieć obliczenia rozkładu geometrycznego.

Możesz pobrać szablon Excel Formuła rozkładu geometrycznego tutaj - Szablon Excel Formuła rozkładu geometrycznego

Wzór rozkładu geometrycznego - przykład nr 1

Weźmy przykład pałkarza, który nie mógł strzelić pierwszych siedmiu piłek, ale uderzył w granicę ósmej dostawy, przed którą stanął. Jeżeli prawdopodobieństwo odbicia przez uderzającego w granicę wynosi 0, 25, to oblicz prawdopodobieństwo, że odbijający uderzy w pierwszą granicę po ośmiu piłkach.

Rozwiązanie:

Prawdopodobieństwo jest obliczane przy użyciu wzoru rozkładu geometrycznego podanego poniżej

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Prawdopodobieństwo = 0, 25 * (1 - 0, 25) (8 - 1)
  • Prawdopodobieństwo = 0, 0334

Dlatego istnieje prawdopodobieństwo 0, 0334, że odbijający uderzy w pierwszą granicę po ośmiu piłkach.

Wzór rozkładu geometrycznego - przykład nr 2

Przejdźmy teraz do sportu w piłce nożnej i weźmy przykład piłkarza, który strzeli bramkę z prawdopodobieństwem 0, 7 za każdym razem, gdy zdobędzie piłkę dla siebie. Określ prawdopodobieństwo, że piłkarz zdobędzie swoją pierwszą bramkę po:

  • 8 prób
  • 6 prób
  • 4 próby
  • 2 próby

Rozwiązanie:

8 prób

Prawdopodobieństwo jest obliczane przy użyciu wzoru rozkładu geometrycznego podanego poniżej

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Prawdopodobieństwo = 0, 7 * (1 - 0, 7) (8-1)
  • Prawdopodobieństwo = 0, 00015

6 prób

Prawdopodobieństwo jest obliczane przy użyciu wzoru rozkładu geometrycznego podanego poniżej

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Prawdopodobieństwo = 0, 7 * (1 - 0, 7) (6-1)
  • Prawdopodobieństwo = 0, 0017

4 próby

Prawdopodobieństwo jest obliczane przy użyciu wzoru rozkładu geometrycznego podanego poniżej

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Prawdopodobieństwo = 0, 7 * (1 - 0, 7) (4-1)
  • Prawdopodobieństwo = 0, 0189

2 próby

Prawdopodobieństwo jest obliczane przy użyciu wzoru rozkładu geometrycznego podanego poniżej

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Prawdopodobieństwo = 0, 7 * (1 - 0, 7) (2-1)
  • Prawdopodobieństwo = 0, 21

Dlatego w powyższym przykładzie widać, że prawdopodobieństwo pierwszego sukcesu maleje wraz ze wzrostem liczby nieudanych prób, tj. Prawdopodobieństwo pierwszego sukcesu zmniejszyło się z 0, 21 po 2 próbach do 0, 00015 po 8 próbach.

Wyjaśnienie

Wzór na rozkład geometryczny uzyskuje się, wykonując następujące kroki:

Krok 1: Po pierwsze, określ prawdopodobieństwo sukcesu zdarzenia, które jest oznaczone literą „p”.

Krok 2: Następnie prawdopodobieństwo awarii można obliczyć jako (1 - p).

Krok 3: Następnie określ liczbę prób, w których rejestrowane jest pierwsze wystąpienie sukcesu lub prawdopodobieństwo sukcesu wynosi jeden. Liczba prób oznaczona jest przez „k”.

Krok 4: Wreszcie formułę prawdopodobieństwa pierwszego sukcesu po próbach „k” można wyprowadzić, najpierw obliczając prawdopodobne niepowodzenia, tj. (1 - p), podniesione do liczby nieudanych prób przed pierwszym sukcesem, tj. (K - 1), a następnie pomnożenie wyniku do sukcesu w k-tej próbie, jak pokazano poniżej.

P (X = k) = p * (1 - p) (k - 1)

Trafność i zastosowania wzoru rozkładu geometrycznego

Pojęcie rozkładu geometrycznego znajduje zastosowanie w określaniu prawdopodobieństwa pierwszego sukcesu po określonej liczbie prób. W rzeczywistości model rozkładu geometrycznego jest szczególnym przypadkiem ujemnego rozkładu dwumianowego i ma on zastosowanie tylko do sekwencji niezależnych prób, w których możliwe są tylko dwa wyniki w każdej próbie. Należy zauważyć, że zgodnie z tym modelem dystrybucji, każdy wzrost liczby nieudanych prób powoduje znaczne zmniejszenie prawdopodobieństwa pierwszego sukcesu. W takich przypadkach rozkład można wykorzystać do ustalenia liczby awarii przed pierwszym sukcesem.

Kalkulator formuły rozkładu geometrycznego

Możesz użyć następującego kalkulatora rozkładu geometrycznego

p
k
P (X = k)

P (X = k) = p * (1 - p) (k-1)
= 0 * (1–0) (0–1) = 0

Polecane artykuły

Jest to przewodnik po formule rozkładu geometrycznego. Tutaj omawiamy sposób obliczania rozkładu geometrycznego wraz z praktycznymi przykładami. Oferujemy również kalkulator rozkładu geometrycznego z szablonem Excel do pobrania. Możesz także przejrzeć następujące artykuły, aby dowiedzieć się więcej -

  1. Co to jest formuła rozkładu hipergeometrycznego?
  2. Przykłady wzoru rozkładu Poissona
  3. Formuła rozkładu T (przykłady z szablonem Excel)
  4. Kalkulator standardowej formuły rozkładu normalnego

Kategoria:

Rozwój przedsiębiorczości